Hay una famosa escena en Rainman en la que Raymond, un «autista inteligente», cuenta repentinamente el número de palillos que la camarera tira al suelo. Es una escena que se me quedó grabada, pero que no he entendido realmente hasta que he conocido la historia original en la que está basada, registrada por el neurólogo Oliver Sacks en su libro «El hombre que confundió a su mujer con un sombrero». Me parece algo tan fascinante, neurológica y matemáticamente fascinante, que no puedo resistir a contaros el poder de algunos autistas inteligentes para encontrar los átomos de la matemáticas: los números primos.

Antes de nada, me gustaría que viérais la escena en la que Raymond cuenta, aunque ya veremos que quizá éste no es el término apropiado, 246 palillos. «82, 82, 82» es lo que él dice (es decir, 82 x 3 = 246). Eso nos indica que, en realidad, es capaz de percibir, no sólo el número, sino sus factores. Pero, ¿hasta dónde llega esa capacidad y cómo pueden hacerlo tan rápido?

Todos podemos factorizar números con algo de paciencia, pero factorizar rápidamente está al alcance de pocos. Leonard Euler, el gran matemático suizo, era uno de ellos porque tenía una memoria extraordinaria. Podía recitar la Eneida completa y se sabía los 100 primeros números primos, sus cuadrados, sus cubos y hasta sus sextas potencias. Sin embargo, para el resto del mundo factorizar no es tan sencillo. Hay algoritmos, por supuesto, como la famosa criba de Eratóstenes, pero suelen volverse lentos cuando los números son muy altos porque exigen un proceso de comprobación sistemática.

Algoritmo de la criba de Eratóstenes para encontrar los primos entre el 2 y el 100.

Los gemelos John y Michael, a los que el doctor Sacks conoció como autistas en 1966, no solían hablar mucho, pero eran unas excelentes calculadoras y, como Funes el memorioso, su capacidad para recordar números era prácticamente ilimitada. El doctor les encontró un día solos, manteniendo una conversación muy extraña en la que sólo se decían números el uno al otro. John le decía a Michael «111211». Michael le miraba, paraba un segundo, y sonreía. Después tomaba la iniciativa y le decía a John «566437». John respondía nuevamente con una sonrisa. Y así continuaban durante horas…

Espiral de Ulam representando los números primos

El doctor no sabía lo que estaban haciendo hasta que llegó a su casa. Cogió los libros de matemáticas que tenía. Miró las tablas de potencias, de logaritmos y de números primos, y descubrió que todos los números de 6 cifras que se estaban diciendo los gemelos eran números primos. Al igual que Rainman, ellos podía factorizar en segundos; es más, seguramente ni siquiera necesitaban hacerlo porque ellos veían los factores, de la misma manera que nosotros vemos los colores. Ellos reconocían el patrón de un color puro y eso les hacía sonreír.

Representación de números primos. Cada onda refleja una periodicidad. Los números primos son los únicos en los que no coincide ningún periodo anterior. Fuente: https://www.jasondavies.com/primos/

Al día siguiente el doctor se armó con el libro de números primos y se propuso probar su teoría. Cuando los gemelos se quedaron a solas empezando a decirse números el doctor se sentó a su lado discretamente. Les dejó seguir con su juego y, cuando vio la oportunidad, les dijo un número primo de 8 cifras. Evidentemente él no puede recordarlo. Quizá fue el 96545117, o el 53245117. No importa. El caso es que los gemelos se quedaron sorprendidos y le miraron fijamente. Estuvieron en silencio pensando cerca de medio minuto, y al final sonrieron simultáneamente. Habían intentado factorizar el número, y habían descubierto que era primo. Se apartaron y dejaron hueco a un nuevo jugador, uno de los pocos que entendía su mundo.

John fue el que continuó. Se dedicó a pensar durante unos minutos hasta que lanzó al aire un nuevo número: ¡de 9 cifras! Michael hizo lo propio. Luego llegó la vez del doctor, que, haciendo trampas, había buscado en su libro un número primo de 10 cifras. Pudo haber sido el 1234567891, que efectivamente es primo, pero no lo sabemos. Les costó más, pero volvieron a asentir. Luego estuvieron callados durante un buen rato hasta que al final John lanzó otro número: ¡12 cifras! Ahora el doctor Sacks estaba derrotado, porque su libro no tenía primos más altos. No tenía forma de comprobar su número en tan poco tiempo. Pero a Michael le costó sólo 5 minutos darse cuenta de que era primo. Para cuando el doctor abandonó la sala los gemelos se estaban lanzando primos de 20 cifras…

La factorización visual de los números. Los números primos son los únicos que aparecen como círucles. Posiblemente algo así veían los gemelos al sonreir.

Lo que de verdad importa de esta historia no es la asombrosa rapidez de los gemelos para factorizar números. No está claro cómo lograban hacer eso los gemelos a nivel neurológico, ni qué límites tenían. Lo realmente especial aquí es que los gemelos sonreían. Sonreían cuando encontraban uno porque hay un placer único en el poder de contar, similar al que experimentamos al escuchar música. Los gemelos tenían un don único, porque podían oir esos tonos puros, reconocer la excepcionalidad de los números primos como el que reconoce un La a 440 Hz. Para la mayor parte del mundo los números primos son una anécdota, un rincón friki sin sentido, una forma más de tortura matemática para niños. Pero los gemelos no eran como el resto de gente.

Su mundo era, quizá, más reducido que el nuestro. Sin embargo, su profundidad para ver ciertas cosas era infinitamente; no, inconcebiblemente mayor. Ellos eran capaces de ver esos átomos especiales que sirven para construir todos los números, como el que es capaz de ver cada pequeña estrella de la galaxia. Envidio enormemente su capacidad para descubrir esa belleza sin esfuerzo, porque puedo entender ese sentimiento, y puedo entender que no quisieran prestar atención al resto de cosas superfluas que pasan en nuestra vida. En mi mente limitada imagino que ese sentimiento debe ser parecido al de estar tan atrapado por los ojos de otra persona que no te importe perderte el resto del paisaje. Así pueden ser las matemáticas cuando se entienden.

@DayInLab