Un artículo de nuestro colaborador David Miguel del Río*

Todos conocemos el algoritmo para calcular raíces cuadradas. Era largo y tedioso y en cada iteración únicamente obteníamos un decimal nuevo. Vamos a ver aquí un algoritmo iterativo basado en un método perturbativo que da la raíz de un número de una forma mucho más eficiente, rápida y sencilla que el algoritmo tradicional.

Supongamos que se quiere calcular la raíz cuadrada de un número c. Para ello se parte de una estimación inicial x₀ (que sería la raíz cuadrada de c con un cierto error, ya que sólo es una estimación). Llamemos a al error cometido.

Entonces:

Podemos suponer que el error cometido, a, es muy pequeño, por lo que su cuadrado será más pequeño todavía. Por esto despreciaremos el término a², quedando:

Despejando a se obtiene:

Y con este valor de a podemos hacer una nueva estimación de la solución:

Y así podemos iterar una y otra vez utilizando la expresión general:

Este algoritmo converge siempre que el valor inicial cumpla x₀²>c/3.

Método aplicado a la raíz de 3 (5 iteraciones con aproximación inicial 1)

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos hallar la raíz cuadrada de 3 y tomamos como aproximación inicial x₀ = 2. Obtenemos la serie:

Donde en sólo 4 iteraciones hemos obtenido 17 cifras decimales exactas de la raíz de 3 (que es bastante más de lo que obtiene una calculadora), mientras que con el algoritmo tradicional únicamente hubiéramos obtenido 4 decimales. El método puede, además, generalizarse a raíces cúbicas, aunque converge más lentamente.

Método aplicado a la raíz cúbica de 3 (100 iteraciones con aproximación inicial 2)

 

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Referencias

Iniciación al caos, M.A. Martín-M.Morán-M.Reyes, Editorial Síntesis (1995)

 

* David es profesor de Matemáticas en el IES Miguel Delibes y podéis encontrar más curiosidades y recursos sobre matemáticas en su web dmdelrio.es