Un algortimo eficiente para calcular raíces cuadradas

Un artículo de nuestro colaborador David Miguel del Río*

Todos conocemos el algoritmo para calcular raíces cuadradas. Era largo y tedioso y en cada iteración únicamente obteníamos un decimal nuevo. Vamos a ver aquí un algoritmo iterativo basado en un método perturbativo que da la raíz de un número de una forma mucho más eficiente, rápida y sencilla que el algoritmo tradicional.

Supongamos que se quiere calcular la raíz cuadrada de un número c. Para ello se parte de una estimación inicial x0 (que sería la raíz cuadrada de c con un cierto error, ya que sólo es una estimación). Llamemos a al error cometido.

Entonces:

eq0

Podemos suponer que el error cometido, a, es muy pequeño, por lo que su cuadrado será más pequeño todavía. Por esto despreciaremos el término a2, quedando:

eq01

Despejando a se obtiene:eq1

Y con este valor de a podemos hacer una nueva estimación de la solución:

eq3

Y así podemos iterar una y otra vez utilizando la expresión general:

eq2

Este algoritmo converge siempre que el valor inicial cumpla x02>c/3.

RaizCuadrada de 3 aprox inicial 1 iteraciones 5

Método aplicado a la raíz de 3 (5 iteraciones con aproximación inicial 1)

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos hallar la raíz cuadrada de 3 y tomamos como aproximación inicial x0 = 2. Obtenemos la serie:

Imagen1

Donde en sólo 4 iteraciones hemos obtenido 17 cifras decimales exactas de la raíz de 3 (que es bastante más de lo que obtiene una calculadora), mientras que con el algoritmo tradicional únicamente hubiéramos obtenido 4 decimales. El método puede, además, generalizarse a raíces cúbicas, aunque converge más lentamente.

RaizCubica de 3 aprox inicial 2 iteraciones 100

Método aplicado a la raíz cúbica de 3 (100 iteraciones con aproximación inicial 2)

 


Referencias

Iniciación al caos, M.A. Martín-M.Morán-M.Reyes, Editorial Síntesis (1995)

 

* David es profesor de Matemáticas en el IES Miguel Delibes y podéis encontrar más curiosidades y recursos sobre matemáticas en su web dmdelrio.es

Una respuesta a “Un algortimo eficiente para calcular raíces cuadradas

  1. Esta entrada habría sido el sueño de muchos cuando aprendimos a hacer raíces cuadradas… Un método sencillo y rápido. ¡Muchas gracias por tu entrada, David! Inauguras las colaboraciones matemáticas =)

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