Siguiendo con mis crónicas de examen, tengo que contaros lo que me ha pasado en el último que he hecho hace muy poco. Esta vez no sólo había un tipo test sino que también había problemas, por lo que la diversión suele ser mayor… Y antes de contaros la pregunta que me ha llevado a escribir esta entrada, tengo que explicaros un poco de qué va mi asignatura y qué es el nivel de Fermi, para que entendáis lo que me ha pasado. Veréis mi asignatura es de física electrónica, lo que significa que trato de explicar a mis alumnos qué les pasa a los electrones (y sus amigos los huecos) dentro de un semiconductor y de un dispositivo:  cómo se puede controlar la cantidad de ellos,  cómo conseguimos moverlos, cómo reaccionan ante la luz y los campos eléctricos, etc.

Diferencia en las bandas de conducción y valencia para un metal, un semiconductor y un aislante. En un semiconductor hay una separación entre las bandas. (Fuente: Alien Space Science News)

Pues bien, uno de los conceptos más básicos que tienen que asimilar es la diferencia entre un metal, un semiconductor y un aislante. La respuesta general es muy sencilla: se diferencian por su conductividad. Un metal como el oro es muy buen conductor eléctrico, un aislante como el vidrio es muy mal conductor, y un semiconductor como el silicio es un material que conduce relativamente bien (o mal) dependiendo de cómo lo produzcamos.

La piscina de Martin es un ejemplo de banda de valencia de un semiconductor con muchos electrones, pero que no se mueven libremente.

Sin embargo, la razón física está en el comportamiento de los electrones. Podemos imaginar un semiconductor como un edificio con pocos inquilinos (electrones). El edificio tiene una piscina en la planta de abajo que llamamos banda de valencia. Como las personas, los electrones tienen una restricción: donde hay un electrón no puede haber otro. Así que como es lógico en un día normal la piscina suele estar repleta, no se puede nadar bien y los electrones se mueven poco en ella. Sin embargo, el edificio también tiene una piscina en la primera planta (que llamamos banda de conducción). Algunos electrones cansados de la de abajo pueden subir a esa piscina, donde no hay casi gente y se puede nadar de maravilla. El único problema es que para llegar hasta la primera planta hay que hacer un esfuerzo, salir de tu colchoneta hinchable y subir.

En un aislante pasa lo mismo que en un semiconductor, sólo que hay muchos menos inquilinos, y la piscina no está en la planta primera sino mucho más arriba (digamos que en la décima), así que por lo general no hay nadie nadando en la pisicina de arriba. En un metal hay muchísimos más inquilinos que en un semiconductor, pero no hace falta subir a la de arriba para nadar bien porque la piscina de abajo es gigante.

El nivel de Fermi habla de la distribución de electrones en un semiconductor

Pues bien el nivel de Fermi es un indicador que te dice cómo están distribuidos tus inquilinos por las dos piscinas. Por ejemplo, en un semiconductor que tuviera la mitad de inquilinos en la piscina de arriba y la mitad en la de abajo el nivel de Fermi sería la entreplanta que separa las dos piscinas. A veces la piscina de abajo está más llena y a veces es la piscina de arriba, por lo que el nivel de Fermi puede moverse arriba o abajo. Es más, si sabes dónde está el nivel de Fermi puedes decir cómo de llenas están las piscinas.

Por supuesto, los electrones no son personas así que no podemos decir si están o no en la piscina, pero sí podemos decir la probabilidad de que estén o no. A esa probabilidad se la llama distribución de Fermi-Dirac y su característica más importante es que depende de la temperatura. Es decir, si hace mucho calor, es más probable que te encuentres electrones en la primera planta, y si hace frío es más probable que no quieran salir de la piscina de abajo. Eso se debe a que cuanta más energía tienen los electrones (más calor hace), menos esfuerzo les cuesta subir a la primera planta. En definitiva, un semiconductor como el silicio tiene muchos electrones a alta temperatura y conduce mejor cuanto más caliente está (cosa que también sirve para los chips de los ordenadores).

Distribución de Fermi-Dirac que expresa la probabilidad de encontrar un electrón en un cierto nivel de energía.

Pues nada, ahora que ya entendéis cómo funcionan los electrones en un semiconductor, podéis entender mi pregunta de examen. Yo les pedía que, sabiendo dónde está el nivel de Fermi y la piscina de arriba, me dijeran la temperatura a la cual la probabilidad de encontrar un electrón en la piscina de arriba era del 1%. Para resolverlo basta con igualar la función de Fermi-Dirac a 0.01 (1/100) y despejar la T. La respuesta correcta era 505 K (unos 232 ºC).

Esquema de combustión en el interior del Sol

Y aquí viene la sorpresa. Algunos de los alumnos más «veloces» me fueron entregando los exámenes y empecé a curiosear. De repente di con una respuesta que me extrañó: 10¹⁰ K. Pensé: ¿pero no ve que eso no puede ser? Pero luego miré otro y me quedé todavía más alucinado: ¡¡¡a una persona le salía 10²¹ K!!! (en realidad 5 personas me respondieron eso). Fui corriendo a la pizarra, escribí «Temperatura del núcleo del Sol: 15.000.000 ºC«, y les dije: por si a alguien le da más que eso…

Este tipo de ejemplos de anumerismo científico siempre me recuerdan la frase de John Archibald Wheeler:

Nunca empieces a hacer un cálculo sin conocer antes la respuesta.

Y es que cualquiera puede equivocarse en un cálculo, pero lo que no debería pasar es que la gente no sepa que no hay estrellas con una temperatura de 10²¹ K en el Universo.

Pero os contaré una cosa. He decidido dejar de preocuparme por eso después de ver que un alumno respondió -1.01·10⁴¹ K. Creo que voy a contentarme con que sepan lo que es el cero absoluto por el momento.

@DayInLab