Representación de los primeros 1000 decimales de pi usando Circos, un software de genómica. (Autores: Cristian Ilies Vasile y Martin Krzywinski).

Hoy es el día π. A muchos esto no os dirá nada, pero yo voy a celebrarlo igualmente con una entrada por dos buenas razones. La primera es que es mi número favorito, soy un πrado. ¿Desde cuándo? No consigo recordarlo. Puede que tuviera 14 o 15 años. Lo que sé seguro es ese día empecé a hacerme científico. No entendía qué era ese número, ni entendía por qué era tan importante, y os contaré un secreto: la mayor parte del mundo tampoco lo entiende. Si preguntas a alguien por la calle qué es π estoy seguro de que, en el mejor de los casos, te dirá 3.1416. Eso no es π, eso no es más que una aproximación que nos hacen memorizar de pequeños. Aquel día ese niño joven e ingenuo que habitaba mi cuerpo quería saber lo que era de verdad.

La enciclopedia Sopena. Fuente de conocimiento de mi casa antes de que existiera internet y donde encontré a pi.

Salí decidido de mi habitación hacia la fuente de conocimiento más profunda de mi casa: la enciclopedia. Sí, una de esas de papel que era el libro más gordo de la casa, y que era capaz de responder cualquier pregunta imaginable. Volumen 7. Con la P… Ajá. Allí empecé mi viaje. Recuerdo como si fuera ayer la brillante definición que encontré:

π es la razón constante entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.

Debí buscar también lo que significa razón, que por suerte estaba en el mismo volumen =). Una razón en matemáticas quiere decir cociente, proporción, fracción. Qué sencillo había sido, pero qué grande era el misterio que acababa de descubrir: no importa la circunferencia del Universo escojas, no importa si es el plato en el que comes, o el Sol, no importa si es la órbita de un electrón, o la rueda de tu bici, o una moneda, o una noria… la longitud de la circunferencia siempre mantiene la misma proporción con el diámetro.

Pi explicado gráficamente. (Fuente: Wikipedia)

Eso ya me pareció algo realmente sorprendente. Hasta entonces nunca había reparado en que existen ciertas conexiones inevitables en el Universo. Pero aún me quedé más sorprendido cuando supe que nadie puede decirte cuánto vale π exactamente, porque es un número irracional. Eso me resultó tremendamente perturbador porque quería decir que π no se puede expresar como una fracción, cuando yo justo acababa de aprender que ¡¡¡π ES una fracción!!! La fracción resultante de dividir la longitud y el diámetro de una circunferencia. ¿Cómo era posible? Tardé un tiempo en darme cuenta de que la única explicación era que la longitud, o el diámetro, o los dos tienen que ser también números irracionales. Si tu diámetro es un número natural, tu longitud no lo será. Si tu longitud es un número natural, tu diámetro no lo será. No puedes hacer nada para cambiarlo¹.

Los números irracionales tienen infinitos decimales y no hay un patrón en ellos, así que el valor exacto de π no se podrá saber nunca: por eso la mejor forma de definirlo es una letra. Yo me llegué a aprender 50; la NASA, sin embargo, usa sólo 15 decimales²: 3.141592653589793… El récord actual de decimales calculados anda por los 10 billones y uno de los pasatiempos más habituales es el de encontrar tu DNI, o tu fecha de nacimiento, o tu número de teléfono entre los decimales de pi. Páginas como PiSearch o MyPiDay te ayudan a hacerlo. Por ejemplo, el punto de Feynman³ es una famosa secuencia de 6 nueves, y está en la posición 762. 

El hermoso método de Arquímedes para calcular pi con más exactitud por medio de polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia.

Pero lo que realmente hace maravilloso al número π, lo que lo hace especial en matemáticas, lo que asombra a cada persona que aprende sobre él, es que está ligado a los problemas y a los fenómenos más inesperados. Lo que lo hace increíble es cómo, naciendo de una propiedad geométrica extraordinariamente sencilla, puede estar inexplicablemente unido a tantos problemas de la Ciencia.

Y eso me lleva a la segunda razón para escribir esta entrada, y es que hace tiempo hice una promesa sobre curiosidades matemáticas a mi mayor fan. Creo que hoy es un buen día para cumplirla. Y lo voy a hacer contando dos de los rincones mágicos de π que más me gusta visitar.

El problema de Basilea

En 1644  el matemático Pietro Mengoli propuso determinar el valor de la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, de:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 +… = ?

Leonard Euler (1707-1783)

El problema se resistió a los famosos Bernoulli, y aunque se sabía que la suma convergía, nadie pudo calcular su valor exacto hasta que lo hizo el gran Leonard Euler (¡91 años después de proponerse!). Euler vivía en Basilea y de ahí que el problema tomara el nombre de la ciudad suiza. La demostración es una verdadera joya matemática, llena de la brillantez propia de Euler⁴, y la podéis degustar aquí, pero como se me hace tarde os diré lo que da:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 +… = π²/6

Sí. No hay circunferencias en este problema ni nada parecido, pero ahí escondido está π. ¿Por qué existe una relación entre π y la suma infinita de los inversos de los cuadrados? No lo sé, es un misterio⁵. Pero es que ahí no queda todo: ¿qué relación podría tener π con los números primos? Pues elige dos números naturales mayores o iguales que 2, y la probabilidad de que sean primos entre sí… advina, es: 6/π². =O  No sólo es que esté nuestro maravilloso número π, es que ¡es justo el mismo número del problema de Basilea invertido! ¿Coincidencia? No importa lo que penséis, sigue siendo algo fascinante.

El principio de incertidumbre

Alguien podría pensar que estas relaciones extrañas de π sólo aparecen en las matemáticas y que π pierde su protagonismo en otras ciencias, pero no es así. π juega un papel clave en muchas partes… y habría muchas ecuaciones de la Física donde hablar de π, pero he elegido ésta:

Werner Heisenberg (1901-1976)

¿Os suena? Es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que dice que no se pueden conocer con una precisión arbitraria los valores de magnitudes físicas complementarias como la posición y el momento de una partícula⁶. Y estaréis pensando… yo ahí no veo π por ningún lado. Y tenéis razón, porque a los físicos nos gusta decorar mucho las ecuaciones, pero os contaré que ℏ es la constante reducida de Planck, cuyo valor es:

ℏ = h/2π = 1.054571800(13)×10⁻³⁴ J·s

Voilà. Ahí se esconde π. ¿De dónde aparece? ¿Qué hace π en un principio tan importante de la Física?

La longitud de onda está relacionada con el momento lineal de esa onda.

Por no alargar la historia demasiado, iré al grano. Resulta que una de las lecciones que aprendimos de la mecánica cuántica es que no hay ni partículas ni ondas, sino que en realidad lo que existe en la naturaleza es una mezcla (dualidad): las ondas de materia. Ahora bien, el parámetro característico de una onda es su longitud (λ): la distancia entre dos picos o dos valles. Por ejemplo, una partícula de luz (fotón) verde tiene una longitud de onda de unos 550 nm. Puesto que la longitud de onda es lo que avanza la onda en un periodo, podéis entender que conocerla es como conocer su velocidad (o su momento).

Louis de Broglie demostró en su tesis doctoral (eso es una tesis y no lo que yo hice) que para determinar el momento de una onda-partícula basta con saber su longitud o, lo que es mejor, su número de onda (k). El número de onda es la unidad natural porque nos dice cuántas ondas nos caben en un periodo. Puesto que las ondas están representadas por senos o cosenos, es decir, puesto que nacen de propiedades de la circunferencia, su ciclo natural es la longitud de la circunferencia: 2π. Y así es como apareció en nuestra vida otra vez. El momento de una onda-partícula está relacionado con π, lo queramos o no.

Ejemplo de la formación de un paquete de ondas como suma de muchas ondas. (Fuente: Hyperphysics)

Y ¿por qué existe incertidumbre? Lo que ocurre es que para describir una partícula relativamente bien localizada en el espacio y en el tiempo no basta con una sola onda. Una partícula como un electrón puede verse como una superposición (suma) de varias ondas de distintas longitudes; lo que se llama un paquete de ondas. De aquí surge el dilema. Una onda tiene su longitud (su momento) perfectamente determinada y su posición totalmente indeterminada (está en todos los puntos del espacio en los que se extiende). Cuando sumamos ondas estamos aumentado la incertidumbre en su longitud de onda porque ya no hay una sola onda, sino varias que conviven con longitudes diferentes. Pero al mismo estamos reduciendo su incertidumbre espacial porque hay interferencias destructivas donde la onda suma ya no puede existir. Es decir, que no podemos mejorar una propiedad sin empeorar la otra. Si no lo creéis os recomiendo este video.

Estos son sólo dos ejemplos de lo profunda que es la presencia de π en el universo, pero hay muchos más. Os invito a buscarlos y a descubrirlos por vuestra cuenta porque…

π no es sólo una colección de dígitos sin orden. π es un viaje, una experiencia. A menos que trates de ver la poesía natural que hay en π, te resultará algo muy difícil de aprender. (Antranig Basman)

@DayInLab

Referencias:

The art of Pi

Visualizing the art in Pi  

List of formulae involving Pi

Pi entre 3 y 4

Notas:

¹ En 1897 Edwin J. Goodwin intentó que se aprobara una ley para que π fuera exactamente igual a 4. El proyecto fue finalmente rechazado. Para los más curiosos Microsiervos publicó hace poco un interesante artículo sobre casos en los que π puede tener valores distintos.

² Como explica el ingeniero Marc Rayman de la NASA, la sonda más distante de la tierra es la Voyager 1. Está a unos 12500 millones de millas. Si asumimos que ése es el radio de la circunferencia, tomando sólo los 15 primeros decimales de π el error que se cometería al calcular su perímetro es de 1.5 pulgadas.

³ Al parecer Feynman tenía la idea de aprender todos los dígitos hasta ese punto, para decir luego «999999 y así sucesivamente», la mención más antigua de esto es del profesor Douglas Hofstadter. Además, esta secuencia se ha hecho famosa porque la aparición de una serie en tan pocos decimales tiene una probabilidad muy baja, de 0.08%.

⁴ Tengo que confesar que siento debilidad por Euler. Mucha gente dice que Gauss es el mayor matemático de todos los tiempos, pero a mi parecer (que es opinable, por supuesto) Euler tenía una brillantez y capacidad inigualables. La facilidad de Euler para calcular y memorizar era increíble: podía recitar la Eneida de memoria, se sabía los 100 primeros números primos, y sus cuadrados y sus cubos y hasta sus sextas potencias. Aunque se quedó ciego de un ojo a los 28 años, y luego ciego de los dos hacia el final de su vida, eso no le paró. Calculaba mentalmente y les dictaba a sus hijos (¡tuvo 13!). Su obra ocupa 70 grandes volúmenes, pero más impresionante que su magnitud es la importancia de todo lo que descubrió. «Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros».

⁵ He decidido acortar la explicación porque sería difícil contar en una línea que π es el responsable de que la función seno se anule periódicamente y que la factorización infinta de esos ceros puede identificarse término a término con el desarrollo de Taylor, y que a orden dos se reduce precisamenta a la suma de los inversos de los cuadrados.

⁶ Es importante recordar que el principio de incertidumbre no tiene nada que ver con el problema de la medida. No es un problema de la precisión de los aparatos de nuestros laboratorios; es un límite físico inevitable. No importa cuánto mejoremos nuestros instrumentos, nunca podremos superar la incertidumbre ℏ/2.