Hace muchos años ya desde que leí el artículo de Eugene Wigner que lleva esta entrada por título (publicado en Communications on Pure and Applied Mathematics 13, 1-14 (1960)). Sin embargo, el otro día tenía una profunda discusión sobre el lenguaje de las ideas con una de mis estudiantes, Ángela. Me dijo que no lo había leído, así que le prometí subirlo al blog. Aquí está mi modesta traducción del original para Ángela, y para todo aquel al que le resulte interesante el tema.

La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales

E. Wigner

La matemática, cuando se contempla correctamente, posee no sólo la verdad, sino la suprema, fría y austera belleza, como la de una escultura, que sin apelar a ninguna parte de nuestra débil naturaleza, sin los maravillosos adornos de la pintura o la música, todavía es sublimemente pura y capaz de una perfección tan severa que sólo las grandes artes la pueden mostrar. El verdadero espíritu del deleite, la exaltación, la sensación de ser más que humano, que es la piedra angular de la excelencia más alta, se puede encontrar en la matemática con tanta claridad como en la poesía.

– Bertrand Russell, Study of Mathematics

Había una historia sobre dos amigos, que siendo estudiantes en la universidad, hablaban de sus trabajos. Uno de ellos llegó a ser un estadístico y estaba trabajando sobre tendencias de la población. Mostró una de sus publicaciones a su compañero de clase. El artículo comenzaba, como es normal, con la distribución gaussiana y el estadístico explicó a su compañero el significado de los símbolos para la población actual, para la media de la población, y así sucesivamente. Su compañero de clase se mostró algo incrédulo y no estaba seguro de que no le estuviera tomando el pelo.

– ¿Cómo puedes saber eso?, preguntó. ¿Y que símbolo es éste?

– Ah, -dijo el estadístico- esto es pi.

– ¿Qué es eso?

– La razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro.

– Bueno, ahora has llevado tu broma demasiado lejos, dijo el estudiante. Está claro que la población no tiene nada que ver con la circunferencia de un círculo.

Naturalmente, nos inclinamos a sonreír frente a la simplicidad del razonamiento del compañero de clase. Sin embargo, cuando oí esta historia, tengo que admitir que tuve sentimiento extraño porque, seguramente, la reacción del compañero se debió sólo al sentido común. Estuve todavía más confuso cuando, no muchos días después, alguien vino a mí y expresó su perplejidad [La observación fue hecha por F. Werner cuando era estudiante en Princeton] frente al hecho de que hacemos una selección bastante estrecha cuando elegimos los datos con los cuales probamos nuestras teorías. «¿Cómo sabemos que, si hiciéramos una teoría que centrara su atención en fenómenos que nosotros descuidamos y que despreciara algunos de los fenómenos que ahora dominan nuestra atención, no podríamos construir otra teoría que tuviera poco en común con la actual pero que, sin embargo, explicara tantos fenómenos como la presente teoría?» Se tiene que admitir que no hay una evidencia definitiva de que tal teoría no exista.

Las dos historias precedentes ilustran los dos puntos principales que son motivo de nuestra discusión actual. El primero es que los conceptos matemáticos acaban por tener conexiones inesperadas. Más aún, a menudo permiten una descripción increíblemente cercana y precisa de los fenómenos de esas conexiones. El segundo es que, debido a las circunstancias, y ya que no entendemos las razones de su utilidad, no podemos saber si una teoría formulada en términos de conceptos matemáticos es la única apropiada. Estamos en una posición similar a la del hombre al que le dieron un montón de llaves y que, teniendo que abrir varias puertas consecutivamente, siempre acertaba en el primer o segundo intento. Se  volvería escéptico en lo referente a la singular coordinación entre llaves y puertas.

La mayor parte de lo que puede decirse sobre estas cuestiones no será nuevo; probablemente se les ha ocurrido a muchos científicos de una manera u otra. Mi principal deseo es abordarlo desde perspectivas distintas. El primer punto es que la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales a veces parece misteriosa y no hay explicación racional para ello. El segundo, que esta sobrenatural eficacia de los conceptos matemáticos genera dudas sobre la unicidad de las teorías físicas. Para establecer el primer punto, que las matemáticas juegan un irrazonable y fundamental papel en la física, será apropiado decir unas cuantas palabras sobre la pregunta «¿Qué son las matemáticas?», luego, «¿Qué es la física?», después, «¿cómo se incorporan las matemáticas en las teorías físicas?», y por último, «¿por qué es tan sorprendente el éxito de las matemáticas cuando se aplican a la física?» Mucho menos se podrá decir sobre el segundo punto: la unicidad de las teorías físicas. Una respuesta apropiada a esta cuestión requeriría elaborar un trabajo experimental y teórico que no ha sido emprendido hasta la fecha.

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?

Alguien dijo una vez que la filosofía es el abuso de una terminología que fue inventada sólo para ese propósito. [Esta afirmación se debe a W. Dubislav, en Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart (Berlin: Junker and Dunnhaupt Verlag, 1932), p. 1.] De la misma forma, se podría decir que la matemática es la ciencia de operaciones astutas con conceptos y reglas inventados sólo para ese propósito. Y hay que hacer una mención especial para la invención de los conceptos. Las matemáticas pronto condujeron a interesantes teoremas cuando éstos se habían formulado en términos de los conceptos que ya aparecían en los axiomas. Más aún, mientras que es incuestionablemente cierto que los conceptos de matemáticas elementales, y en particular de la geometría, fueron formulados para describir entidades que estaban directamente sugeridas por el mundo real, no ocurre lo mismo para los conceptos avanzados, en particular los conceptos que juegan un importante tan especial en la física. Así, las reglas para operaciones de parejas de números están evidentemente designadas para dar los mismos resultados que las operaciones de fracciones, las cuales aprendimos primero sin referencia a «parejas de números». Las reglas de operaciones con secuencias, esto es, con números irracionales, todavía pertenecen a la categoría de reglas que fueron determinadas para reproducir reglas de operaciones con cantidades que eran ya conocidas. La mayoría de los conceptos matemáticos más avanzados, como los números complejos, álgebra, operadores lineales, conjuntos de Borel – y la lista podría continuar indefinidamente – fueron inventados como instrumentos que eran sujetos apropiados para que los matemáticos demostraran su ingenuidad y sentido de la belleza formal. De hecho, la definición de esos conceptos, juntos con las consideraciones interesantes e ingeniosas que se les pueden aplicar, es la primera demostración de la genialidad de los matemáticos que los definieron. La profundidad de pensamiento que conlleva la formulación de los conceptos matemáticos se justifica más tarde por la habilidad con que esos conceptos se usan. La gran mayoría de los matemáticos explotan, casi despiadadamente, el dominio del racionamiento permisible y juegan con el no permitido.

Que su imprudencia no les lleve a un pantano de contradicciones es un milagro en sí mismo: ciertamente es difícil creer que nuestro poder de razonamiento surgió, por el proceso de selección natural de Darwin, con la perfección que parece poseer. Sin embargo, éste no es nuestro propósito presente. El principal punto al que tendremos que volver más tarde es que los matemáticos pueden formular sólo un puñado de interesantes teoremas sin definir conceptos más allá de los contenidos en los axiomas, y que los conceptos no incluidos en ellos son definidos a partir de ingeniosas operaciones lógicas que apelan a nuestro sentido estético tanto como sus resultados de gran generalidad y simplicidad. [M. Polanyi, en su Personal Knowledge (Chicago: University of Chicago Press, 1958), dice: “Todas estas dificultades no son sino las consecuencias de nuestra negativa a ver que las matemáticas no se pueden definir sin reconocer su rasgo más obvio: esto es, que son interesantes. (p. 188)].

Los números complejos son un ejemplo particularmente valioso como precedente. En efecto, nada en nuestra experiencia sugiere la introducción de esas cantidades. De hecho, si se obliga a un matemático a justificar su interés por los números complejos, él señalará, con alguna indignación, que la mayoría de los más hermosos teoremas en la teoría de ecuaciones, de serie de potencias, y de funciones analíticas en general, tienen su origen en la introducción de los números complejos. El matemático no está dispuesto a abandonar su interés en estos logros tan hermosos fruto de su genialidad. [El lector podría estar interesando en leer, a este respecto, las enojadas observaciones de Hilbert sobre el intuicionismo que “busca hundir y desfigurar las matemáticas”, Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922), or Gesammelte Werke (Berlin: Springer, 1935), p. 188.]

¿QUÉ ES LA FÍSICA?

La física está interesada en descubrir las leyes de la naturaleza inanimada. Para comprender esta afirmación, es necesario analizar el concepto «ley de la naturaleza».

El mundo que nos rodea posee una desconcertante complejidad y el hecho más evidente de esto es que no podemos predecir el futuro. Aunque la broma atribuye al optimista la visión de que el futuro es incierto, el optimista está en lo cierto en este caso: el futuro es impredecible. Es un milagro, como Schrödinger ha remarcado, que a pesar de que la increíble complejidad del mundo, se puedan descubrir ciertas regularidades en los sucesos. Una de esas regularidades, descubierta por Galileo, es que dos rocas, lanzadas al mismo tiempo desde la misma altura, alcanzan el suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza se ocupan de esas regularidades. La regularidad de Galileo es un prototipo de una larga clase de ellas. Y es una regularidad sorprendente por tres razones.

La primera es que es cierto no sólo en Pisa, y en el tiempo de Galileo, es cierto en cualquier lugar de la Tierra, fue siempre cierto, y siempre lo será. Esta propiedad se conoce como una propiedad de invarianza y, como tuve ocasión de comprobar hace tiempo, sin principios de invarianza parecidos a aquellos que implícitamente se veían en la generalización de las observaciones de Galileo, la física no sería posible. El segundo rasgo sorprendente es que la regularidad que estamos tratando es independiente de muchas condiciones que podrían tener efecto en ella. Es válida sin importar si llueve o no, si el experimento se lleva a cabo en una habitación o desde la Torre Inclinada, si la persona que lanza las rocas es un hombre o una mujer. Es válida incluso si las rocas son lanzadas, simultáneamente y desde la misma altura, por dos personas distintas. Hay, obviamente, otras innumerables condiciones que no afectan al punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían jugar algún papel en el fenómeno observado también se ha llamado invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un tipo distinto porque no puede ser formulada como un principio general. La exploración de las condiciones que sí, y que no, influyen en un fenómeno es parte de la primera exploración experimental de un campo. Es la habilidad e ingenuidad del experimentador la que le muestra el fenómeno que depende de un conjunto relativamente pequeño de condiciones relativamente reproducibles y fácilmente realizables. [ver, a este respecto, el gráfico ensayo de M. Deutsch, Daedalus 87, 86 (1958). A. Shimony ha llamado mi atención sobre una cita similar en C. S. Peirce’s Essays in the Philosophy of Science (New York: The Liberal Arts Press, 1957), p. 237.] En la presente situación, la restricción de Galileo de sus observaciones a cuerpos relativamente pesados fue el paso más importante en este aspecto. De nuevo, es cierto que si no hubiera fenómenos que son independientes de todas salvo un conjunto pequeño y manejable de condiciones, la física sería imposible.

Los dos puntos anteriores, aunque profundamente significativos desde el punto de vista del filósofo, no son los que más sorprendieron a Galileo, ni contenían una ley específica de la naturaleza. La ley de la naturaleza está contenida en la afirmación de que el tiempo que los objetos pesados emplean en caer desde una altura dada es independiente del tamaño, material, y forma del cuerpo que se lanza. En el marco de la segunda «ley» de Newton, esto se debe al hecho de que la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo en caída libre es proporcional a su masa, pero independiente del tamaño, material y forma del cuerpo que cae. La discusión precedente intenta recordarnos, primero, que no es del todo natural que las «leyes de la naturaleza» existan, y mucho menos que el ser humano esté capacitado para descubrirlas [E. Schrödinger, en What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, 1945), p. 31, dice que este segundo milagro bien podría estar más allá del conocimiento humano.] El autor tuvo ocasión, hace algún tiempo, de llamar la atención sobre la sucesión de capas de «leyes de la naturaleza», cada capa contiene leyes más generales y con más contenido que las previas, y su descubrimiento constituye una incursión más profunda en la estructura del universo. Sin embargo, la cuestión más significativa en el contexto actual es que todas esas leyes de la naturaleza contienen, incluso dentro de sus remotas consecuencias, sólo una pequeña parte de nuestro conocimiento del mundo inanimado. Todas las leyes de la naturaleza son declaraciones condicionales que permiten una predicción de sucesos futuros sobre la base del conocimiento presente, excepto que en algunos aspectos del estado actual del mundo, en la práctica la abrumadora mayoría de los determinantes del estado presente del mundo, son irrelevantes desde el punto de vista de la predicción. Son irrelevantes en el mismo sentido que lo eran en el segundo punto de la discusión del teorema de Galileo [El autor considera innecesario mencionar que el teorema de Galileo, como se expresa en el texto, no acaba con el contenido de las observaciones de Galileo en conexión con las leyes de los cuerpos en caída libre.]

Como se ve en el estado reciente del mundo, como lo es la existencia de la tierra en la que vivimos y sobre la que se realizaron los experimentos de Galileo, la existencia del sol y de todos nuestros alrededores, las leyes de la naturaleza son completamente silenciosas. Confirma esto, primero, que las leyes de la naturaleza pueden ser usadas para predecir sucesos futuros únicamente bajo circunstancias excepcionales – cuando todos los determinantes relevantes del estado presente del mundo son conocidos. Está también confirmado por la construcción de máquinas, cuyo funcionamiento se puede prever, lo que constituye el logro más espectacular del físico. En estas máquinas, el físico crea una situación en la que todas las coordenadas relevantes son conocidas, así que el comportamiento de la máquina puede ser predicho. Radares y reactores nucleares son ejemplos de esas máquinas.

El principal propósito de la discusión anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son todas declaraciones condicionales y están relacionadas sólo con una pequeña parte de nuestro conocimiento del mundo. Así, la mecánica clásica, que es el prototipo mejor conocido de una teoría física, da las segundas derivadas de las posiciones coordenadas de todos los cuerpos, sobre la base del conocimiento de las posiciones, etc., de esos cuerpos. No da ninguna información de la existencia de las presentes posiciones, o velocidades de esos cuerpos. Debería mencionarse, a fin de ser precisos, que descubrimos hace unos treinta años que incluso las afirmaciones condicionales no pueden ser totalmente exactas: que las declaraciones condicionales son leyes de probabilidad que nos permiten únicamente colocar apuestas inteligentes sobre las propiedades futuras del mundo inanimado, sobre la base del conocimiento del estado presente. No nos permiten hacer declaraciones categóricas, ni siquiera hay declaraciones categóricas condicionales sobre el estado actual del mundo. La naturaleza probabilística de las «leyes de la naturaleza» se manifiesta asimismo en el caso de las máquinas, y puede ser verificada, al menos en el caso de los reactores nucleares, si uno los utiliza a una potencia muy baja. No obstante, las limitaciones adicionales al alcance de las leyes de la naturaleza que se sigue de la naturaleza probabilística no jugará ningún papel en lo que queda de discusión.

EL PAPEL DE LAS MATEMÁTICAS EN LAS TEORÍAS FÍSICAS

Habiendo refrescado nuestras mentes con la esencia de las matemáticas y la física, deberíamos estar en una posición mejor para revisar el papel de las matemáticas en las teorías físicas. Naturalmente, nosotros realmente usamos las matemáticas en la física cada día para evaluar los resultados de las leyes de la naturaleza, para aplicar las sentencias condicionales a las condiciones particulares que suelen prevalecer o interesarnos. Siempre que sea posible, las leyes de la naturaleza deben ser formuladas en lenguaje matemático. Sin embargo, el papel de evaluar las consecuencias de las ya establecidas teorías no es el papel más importante de las matemáticas en la física. La matemática, o mejor, la matemática aplicada, no tiene tanto la función de director en esta situación: sirve meramente como una herramienta.

Las matemáticas sí juegan, no obstante, un papel más singular en física. Ya estaba implícito en el argumento, cuando discutíamos el papel de las matemáticas aplicadas, de que las leyes de la naturaleza deben ser formuladas en el lenguaje matemático para ser un objeto que podamos usar con matemáticas aplicadas. La afirmación de que las leyes de la naturaleza están escritas en lenguaje matemático, que fue correctamente elaborada hace trescientos años; [Se atribuye a Galileo.] es ahora más cierta que nunca. Con el objetivo de mostrar la importancia de los conceptos matemáticos que poseemos en la formulación de las leyes de la física, permítanme recalcar, como ejemplo, los axiomas de la mecánica cuántica como fue formulada, explícitamente, por el gran físico Dirac. Hay dos conceptos básicos en mecánica cuántica: estados y observables. Los estados son vectores en espacios de Hilbert, los observables son operadores autoadjuntos sobre esos vectores. Los posibles valores de las observaciones son los autovalores de los operadores – pero mejor paramos aquí antes de que nos pongamos a citar los conceptos matemáticos desarrollados en la teoría de operadores lineales.

Es cierto, por supuesto, que la física escoge ciertos conceptos matemáticos para la formulación de las leyes de la naturaleza, y seguramente sólo una fracción de todos los conceptos matemáticos se usan en física. Es cierto también que los conceptos que escogemos no fueron seleccionados arbitrariamente de una lista de términos matemáticos, sino que fueron desarrollados, en muchos casos si no en todos, independientemente por el físico y reconocidos después como habían sido concebidos por el matemático. No es cierto, sin embargo, como a menudo se establece, que esto tenga que ocurrir porque las matemáticas usan los conceptos más simples posibles y que estos tienen que aparecer en cualquier formalismo. Como vimos antes, los conceptos matemáticos no se eligen por su simplicidad conceptual – incluso secuencias de pares de números están lejos de ser conceptos simples – sino por su facilidad para las manipulaciones inteligentes y a los argumentos hábiles y brillantes. No olvidemos que el espacio de Hilbert de la mecánica cuántica es el espacio de Hilbert complejo, con un producto escalar hermítico. Seguramente para la mente despreocupada, los números complejos están lejos de lo natural o lo simple y no pueden ser sugeridos por observaciones físicas. Finalmente, parece ser cada vez más claro que no sólo los números complejos, sino las llamadas funciones analíticas están destinadas a jugar un papel decisivo en la formulación de la teoría cuántica. Me estoy refiriendo al rápido desarrollo de la teoría de las relaciones de dispersión.

Resulta difícil evitar la impresión de que nos enfrentamos a un milagro aquí, comparable en su encanto natural al milagro de que la mente humana pueda enlazar miles de argumentos juntos sin entrar en contradicciones, o a los dos milagros de la existencia de las leyes de la naturaleza y la capacidad de la mente humana de adivinarlas. La observación que resulta más clara para una explicación de los conceptos matemáticos cosechados en física que conozco es la afirmación de Einstein de que sólo estamos dispuestos a aceptar las teorías físicas que son hermosas. Se mantiene el argumento de que los conceptos matemáticos, que invitan al ejercicio de tanto ingenio, tienen la cualidad de la belleza. Sin embargo, la observación de Einstein puede explicar de la mejor manera las propiedades de las teorías que estamos dispuestos a creer y no hace referencia a la precisión intrínseca de la teoría. Debemos, por tanto, dejar esto para una cuestión posterior.

¿ES REALMENTE SORPRENDENTE EL ÉXITO DE LAS TEORÍAS FÍSICAS?

Una posible explicación del físico acerca del uso de las matemáticas para formular sus leyes de la naturaleza es que él es una persona algo irresponsable. Como resultado, si encuentra una conexión entre dos cantidades que se asemeja a una conexión bien conocida en matemáticas, saltará a la conclusión de que la conexión es esa que se discutía en matemáticas simplemente porque él no conoce ninguna conexión similar. No se pretende en la discusión actual refutar el hecho de que el físico es una persona algo irresponsable. Quizá lo sea. Sin embargo, es importante señalar que la formulación matemática de los físicos a menudo aventaja a la experiencia en un imponente número de casos con una sorprendente precisión en la descripción de una amplia clase de fenómenos. Esto demuestra que el lenguaje matemático tiene algo más que ofrecer que ser el único lenguaje en el que podemos hablar; demuestra que es, en un sentido muy real, el lenguaje correcto. Consideremos algunos ejemplos.

El primer ejemplo es el recorrido del movimiento planetario. Las leyes de los cuerpos en caída fueron bastante bien establecidas como resultado de los experimentos llevados a cabo principalmente en Italia. Estos experimentos podrían no ser muy precisos en el sentido en el que lo entendemos hoy, particularmente por el efecto de la resistencia del aire y por la imposibilidad, en ese tiempo, de medir pequeños intervalos de tiempo. No obstante, no es sorprendente que, como resultado de sus estudios, los científicos italianos adquiriera una familiaridad con las trayectorias con las que los objetos viajan a través de la atmósfera. Fue Newton quien después trajo la ley de los objetos en caída libre en relación con el movimiento de la Luna, notando que la parábola de la trayectoria de una piedra lanzada sobre la tierra y el círculo de la órbita de la Luna en el cielo son casos particulares del mismo objeto matemático que es una elipse, y postuló la ley de la gravitación universal sobre la base de una sencilla, y al mismo tiempo aproximada, coincidencia numérica. Filosóficamente, la ley de la gravitación como fue formulada por Newton era repugnante para su tiempo y para él mismo. Empíricamente, se basaba en observaciones muy escasas. El lenguaje matemático en el que fue formulada contenía el concepto de segunda derivada y aquellos de nosotros que hemos intentado dibujar un círculo tangente a una curva sabemos que la segunda derivada no es un concepto tan inmediato. La ley de la gravitación que Newton estableció de mala gana y que él podía verificar con una precisión cercana al 4% ha demostrado ser precisa para menos de una diezmilésima por ciento y llegó a estar tan intrínsecamente asociada a la idea de precisión absoluta que sólo recientemente los físicos han osado adentrarse en las limitaciones de su precisión. [ ver, por ejemplo, R. H. Dicke, Am. Sci., 25 (1959).] Ciertamente, el ejemplo de la ley de Newton, citada una y otra vez, debe ser mencionado primero como un ejemplo monumental de ley, formulada en términos que parecen simples para los matemáticos, y que ha probado ser precisa más allá de todas las expectativas razonables. Recapitulemos nuestras tesis en este ejemplo: primero, la ley, particularmente desde la aparición de una segunda derivada, es simple sólo para los matemáticos, no para el sentido común o a los novatos sin mente matemática; segundo, es una ley condicional de alcance muy limitado. No explica nada sobre la Tierra que atrae las rocas de Galileo, o sobre la forma circular de la órbita lunar, o sobre los planetas del Sol. La explicación de esas condiciones iniciales se deja a los geólogos y astrónomos, y tienen una dura tarea con ellas.

El segundo ejemplo es ése habitual, la mecánica cuántica elemental. Ésta fue originada cuando Max Born se dio cuenta de que ciertas reglas de cálculo, dadas por Heisenberg, eran formalmente idénticas a las reglas de cálculo con matrices, establecidas mucho tiempo antes por los matemáticos. Born, Jordan y Heisenberg se propusieron entonces reemplazar por matrices las posiciones y momentos de las variables de las ecuaciones de la mecánica clásica. Aplicaron las reglas de la mecánica matricial a unos pocos y altamente idealizados problemas y los resultados fueron bastante satisfactorios. Sin embargo, no había, en aquel tiempo, evidencia racional de que la mecánica matricial volvería a ser correcta bajo condiciones más realistas. De hecho, ellos empezaron diciendo «si la mecánica que aquí proponemos fuera ya correcta en sus características esenciales». En realidad, la primera aplicación de su mecánica a un problema realista, el átomo de hidrógeno, llegó unos meses después, por Pauli. Esta aplicación dio resultados que concordaban con la experiencia. Esto fue satisfactorio pero todavía inexplicable porque las reglas de cálculo de Heisenberg se extrajeron de problemas que incluían la vieja teoría del átomo de hidrógeno. El milagro ocurrió sólo cuando la mecánica matricial, o una teoría matemáticamente equivalente, fue aplicada a problemas para los cuales las reglas de cálculo de Heisenberg no tenían sentido. Las reglas de Heisenberg presuponían que las ecuaciones clásicas del movimiento tenían soluciones con ciertas propiedades de periodicidad; y las ecuaciones del movimiento de los dos electrones del átomo de helio, o de electrones más numerosos de átomos más pesados, simplemente no tenían esas propiedades, así que las reglas de Heisenberg no podían ser aplicadas a esos casos. No obstante, el cálculo de las energías más bajas del nivel de helio, como fue llevado a cabo unos meses después por Kinoshita en Cornell y por Bazley en Bureau of Standards, concordaba con los datos experimentales dentro del grado de precisión de las observaciones, lo que es una parte en diez millones. Seguramente en este caso «se nos escapó algo» que no pusimos en las ecuaciones.

Lo mismo ocurre en las características cualitativas de los «espectros complejos», esto es, los espectros de átomos pesados. Desearía recalcar una conversación con Jordan, en la que me dijo que, cuando los marcos cualitativos del espectro fueron derivados, un desacuerdo con las reglas de derivación de la teoría de la mecánica cuántica y las reglas establecidas por la investigación experimental habría dado la última oportunidad para cambiar el modelo de la mecánica matricial. En otras palabras, Jordan sentía que habríamos sido, al menos temporalmente, huérfanos con un inesperado desacuerdo en la teoría del átomo de helio. Fue desarrollado, al final, por Kellner y por Hilleraas. El formalismo matemático era demasiado apreciado e inalterable así que, el milagro del helio que antes había mencionado no ocurrió, una nueva crisis apareció. Seguramente, la física habría sobrevivido a esa crisis de una manera u otra. Es cierto, por otra parte, que la física como la conocemos ahora no sería posible sin una vuelta constante a los milagros parecidos al del átomo de helio, que es quizá el milagro más espectacular que ha ocurrido en el curso del desarrollo de la mecánica cuántica elemental, pero no el único. De hecho, el número de milagros semejantes está limitado, desde nuestro punto de vista, sólo por nuestra buena voluntad de ir tras los más parecidos. La mecánica cuántica tuvo, no obstante, muchos sucesos casi igualmente increíbles que nos dieron la convicción de que es, lo que nosotros llamamos, correcta.

El último ejemplo es el de la electrodinámica cuántica, o la teoría del efecto Lamb. Mientras la teoría de la gravitación de Newton todavía tenía conexiones evidentes con la experiencia, esa experiencia entró en la formulación de la mecánica matricial sólo mediante las refinadas o sublimes formas de las instrucciones de Heisenberg. La teoría cuántica del efecto Lamb, como se concibió por Bethe y se estableció por Schwinger, es una teoría matemática pura y la única contribución directa del experimento fue demostrar la existencia de un efecto medible. El acuerdo con el cálculo fue mejor que una parte por mil.

Los tres ejemplos anteriores, que se podrían multiplicar casi indefinidamente, deberían ilustrar lo apropiada y precisa que es la formulación matemática de las leyes de la naturaleza en términos de conceptos escogidos para su manipulación, las «leyes de la naturaleza» se construyen casi con una precisión prodigiosa pero con un alcance limitado. Propongo referirnos a la observación que estos ejemplos ilustran como ley empírica de la epistemología. Unida a las leyes de invarianza de la física teórica, es un fundamento indispensable de esas teorías. Sin las leyes de invarianza la física teórica no tendría fundamentos de hecho; si la ley empírica de la epistemología no fuera correcta, careceríamos del estímulo y la seguridad que son necesidades emocionales, sin las que las «leyes de la naturaleza» no habrían sido satisfactoriamente exploradas. El Dr. R. G. Sachs, con quien he discutido las leyes empíricas de la epistemología, lo llama un acto de fe de los físicos teóricos, y seguramente eso es lo que es. Sin embargo, lo que él ha llamado un acto de fe puede justificarse muy bien con ejemplos actuales – muchos ejemplos más de los tres aquí mencionados.

LA UNICIDAD DE LAS TEORÍAS FÍSICAS

La naturaleza empírica de las observaciones anteriores me parece autoevidente. Estoy seguro que no es una «necesidad del pensamiento» y no sería necesario, para probar esto, señalar el hecho de que se aplica sólo a una parte muy pequeña de nuestro conocimiento inanimado del mundo. Es absurdo creer que la existencia de expresiones matemáticas simples para la segunda derivada de la posición es autoevidente, cuando no hay expresiones similares para la posición misma o para que exista la velocidad. Es por tanto sorprendente cómo rápidamente el maravilloso regalo contenido en la ley empírica de la epistemología se usó como garantía. La habilidad de la mente humana para formar 1000 conclusiones y todavía permanecer en lo «correcto», como fue mencionado antes, es un regalo parecido.

Cada ley empírica tiene la cualidad inquietante de que será descubierta, y se fundirá en una unidad consistente, o al menos se aproximará asintóticamente a esa fusión. Alternativamente, es posible que siempre haya algunas leyes de la naturaleza que no tengan nada en común unas con otras. Por el momento, esto es cierto, por ejemplo, con las leyes de la genética y de la física. Es incluso posible que algunas de las leyes de la naturaleza entren en conflicto unas con otras en sus implicaciones, pero siendo cada una convincente en su propio terreno, de forma que no deseemos abandonar ninguna de ellas. Debemos resignarnos a ese estado de las cosas o nuestro interés por solucionar el conflicto entre varias teorías acabará debilitándose. Debemos perder el interés por la «verdad última», esto es, por el cuadro que se hace consistente uniendo los pequeños dibujos individuales, formados con varios aspectos de la naturaleza.

Sería útil ilustrar las alternativas con un ejemplo. Tenemos ahora, en física, dos teorías de gran poder e interés: la teoría de los fenómenos cuánticos y la teoría de la relatividad. Estas dos teorías tienen sus raíces en grupos de fenómenos mutuamente exclusivos. La relatividad se aplica a los cuerpos macroscópicos, como las estrellas. El suceso de una coincidencia, esto es, al final, el análisis de una colisión, es el suceso primitivo en la teoría de la relatividad y define un punto en el espacio-tiempo, o al menos definiría un punto si las partículas en colisión fueran infinitamente pequeñas. La teoría cuántica tiene sus orígenes en el mundo microscópico y, desde ese punto de vista, el suceso de una coincidencia, o de una colisión, incluso si tiene lugar entre partículas sin extensión espacial, no es primitivo y para nada puede aislarse de manera detallada en el espacio-tiempo. Las dos teorías operan con conceptos matemáticos diferentes – el espacio tetradimensional de Riemann y el espacio de infinitas dimensiones de Hilbert, respectivamente. Más aún, las dos teorías no podrían estar unidas, es decir, no existe formulación matemática alguna para la que ambas de estas teorías sean aproximaciones. Todos los físicos creen que la unión de ambas teorías es inherentemente posible y que se encontrará. Sin embargo, también es posible imaginar que no se encuentre ninguna unión de las dos teorías. Este ejemplo ilustra las dos posibilidades, de unión y de conflicto, mencionadas antes, ambas concebibles. Para obtener alguna indicación de qué expectativa hay que esperar finalmente, podemos pretender ser un poco más ignorantes de lo que somos y colocarnos en un nivel inferior al conocimiento que ahora tenemos. Si podemos encontrar una fusión de nuestras teorías en ese nivel bajo de inteligencia, deberíamos esperar con confianza que encontraremos una fusión de nuestras teorías también a nuestro nivel real de inteligencia. Por otra parte, si llegásemos a teorías mutuamente contradictorias en algún nivel más bajo de conocimiento, la posibilidad de que las teorías conflictivas permaneciesen no se podría excluir tampoco. El nivel de conocimiento e ingenuidad es una variable continua y es tan distinta que una variación relativamente pequeña de esa variable continua transforma la posible representación del mundo de inconsistente a consistente. [Esta parte fue escrita después de un gran momento de duda. El autor está convencido de que es útil, en discusiones epistemológicas, abandonar la idealización de que el nivel de inteligencia humana tiene una posición singular en una escala absoluta. En algunos casos, podría ser útil incluso considerar el logro que sería posible al nivel de inteligencia de otras especies. Sin embargo, el autor también reconoce que su pensamiento acerca de las líneas indicadas en el texto es demasiado breve y no está evaluado con suficiente crítica para ser fiable.]

Considerado desde este punto de vista, el hecho de que algunas teorías que sabemos que son falsas dan resultados sorprendentemente precisos es un factor adverso. Teniendo algo menos de conocimiento, el grupo de fenómenos que estas «falsas» teorías explican podría parecernos lo suficientemente extenso como para «probar» esas teorías. Sin embargo, estas teorías son consideradas «falsas» sólo por la razón de que, en el análisis final, resultan incompatibles con representaciones más amplias y, si muchas de esas falsas teorías se descubrieran, servirían de frontera para probar que están en conflicto unas con otras también. De manera similar, es posible que las teorías, que nosotros consideramos «probadas» por un número de acuerdos numéricos que nos parece suficientemente grande, fueran falsas porque están en conflicto con una teoría más general que está más allá de nuestro significado de descubrimiento. Si esto fuera así, tendríamos que esperar conflictos entre nuestras teorías en cuanto su número creciera por encima de un cierto límite y en cuanto cubrieran un grupo de fenómenos suficientemente extenso. En contraste con el acto de fe del físico teórico mencionado antes, ésta es la pesadilla del teórico.

Consideremos unos pocos ejemplos de teorías «falsas» que dan, a la vista de su falsedad, una alarmante precisión en la descripción de grupos de fenómenos. Con algo de buena voluntad, uno puede dejar pasar parte de la evidencia que estos ejemplos nos proveen. El éxito de las tempranas y pioneras ideas de Bohr sobre el átomo es uno de los que estuvo siempre bastante cerca y lo mismo se aplica a los epiciclos de Tolomeo. Nuestra aventajada posición actual da una descripción precisa de todos los fenómenos que estas teorías más primitivas podían describir. No sucede lo mismo más allá de la llamada teoría de electrones libres, que explica con maravillosa exactitud el hecho, nunca entendido sobre la base de las «teorías reales», de que los aislantes muestran una resistencia específica que puede llegar a ser 10²⁶ veces mayor que en los metales. De hecho, no hay evidencia experimental que demuestre que la resistencia no es infinita bajo condiciones en las que la teoría de electrones libres nos llevaría a esperar una resistencia infinita. Sin embargo, estamos convencidos de que la teoría de electrones libres es una aproximación buena que debería ser reemplazada, en la descripción de todos los fenómenos referentes a sólidos, por una representación más exacta.

Si se mira desde nuestra perspectiva real, la situación actual de la teoría de electrones libres es irritante, pero no es fácil presagiar ninguna inconsistencia que sea insuperable. La teoría de electrones libres genera dudas sobre hasta qué punto deberíamos confiar en los acuerdos numéricos entre teoría y experimento como evidencia para la veracidad de la teoría. Estamos acostumbrados a estas dudas.

Una situación de mayor dificultad y confusión aparecería si pudiéramos, algún día, establecer una teoría de fenómenos de la conciencia, o de la biología, que fueran tan convincentes como coherentes con las presentes teorías del mundo inanimado. Las leyes de la genética de Mendel y el trabajo posterior sobre los genes bien podría formar el comienzo de una teoría tanto como la biología lo permita. Más aún, es bastante posible que se encuentre un argumento abstracto que muestre un conflicto entre esa teoría y los  principios de la física aceptados. El argumento podría ser de tal naturaleza abstracta que podría suceder que no fuera posible resolver el conflicto, a favor de una u otra teoría, con un experimento. Tal situación pondría en graves problemas nuestra fe en las teorías y nuestra creencia sobre la realidad de los conceptos que las forman. Nos llevaría a un profundo sentido de frustración en nuestra búsqueda de lo que yo he llamado «verdad última». La razón que hace tal situación concebible es que, fundamentalmente, no sabemos por qué nuestras teorías funcionan tan bien. Incluso, su precisión podría no probar su verdad y consistencia. De hecho, es la opinión del autor que una situación similar a la descrita anteriormente existiría si se enfrentaran las actuales leyes de la genética y de la física.

Permítanme acabar con una nota optimista. El milagro de la adeuación del lenguaje de las matemáticas a la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberíamos estar agradecidos por ello y esperar que permanezca siendo válido en la investigación futura y que se extienda, para bien o para mal, para nuestro placer, y quizá también para nuestro desconcierto, a todas las amplias ramas del conocimiento.

@DayInLab