¿Te enseñaron a resolver la ecuación de segundo grado así?
Un artículo de nuestro colaborador David Miguel del Río*
Recientemente he leído sobre un nuevo método de resolución de las ecuaciones de segundo grado elaborado por el Dr. Po-Shen Loh, profesor asociado de Matemáticas en la universidad Carnegie Mellon. El método no necesita el uso de la famosa fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado que todos aprendimos en la escuela:
Hace ya tiempo que yo les explico a mis alumnos de instituto otro método que tampoco requiere el uso de la famosa fórmula y que se basa en el utilizar la fórmula del cuadrado del binomio. Veamos un ejemplo sencillo:
Si queremos resolver la ecuación x² + 2x + 1 = 0 la expresaremos utilizando el cuadrado del binomio, que en este caso sería (x+1)² = 0, y que es una ecuación que se puede despejar directamente, obteniendo la solución x = -1. ¿Qué ocurre si no es posible encontrar un binomio al cuadrado que sea igual a nuestra ecuación? Fácil… lo corregiremos sumando o restando lo que se necesite.
Por ejemplo, para resolver la ecuación x² + 2x – 3 = 0 podemos utilizar el binomio (x+1)², que como todos sabemos da x² + 2x + 1. Para que cuadre con nuestra ecuación debermos sumarle «-4»:
x² + 2x -3 = 0 ⇒ (x+1)² – 4 = 0 ⇒ x+1 =√ 4 = ±2 ⇒ x=1; x =-3
Es evidente que este método también funciona cuando las soluciones son números complejos. Por ejemplo, para resolver la ecuación x² – 6x + 13 = 0 utilizamos el binomio (x-3)² : binomio resta ya que el término de primer grado es negativo (“-6x”) y 3 porque es la mitad de 6). Este binomio da el polinomio x² – 6x + 9. Lo único que debe preocuparnos es que el cuadrado del binomio cuadre el término cuadrático y el término lineal. El término independiente siempre podremos corregirlo sumando o restando lo que necesitemos. Así, en este ejemplo, para que cuadre el término lineal deberemos sumarle “4”:
x² – 6x + 13 = 0 ⇒ (x-3)² + 4 = 0 ⇒ x-3 =√ (-4) = ±2i ⇒ x=3+2i; x =3-2i
Como generalización podemos tomar la ecuación cuadrática x² + bx + c = 0. En el caso de que el coeficiente del término cuadrático (el «a») fuera distinto de 1 bastaría con dividir toda la ecuación por el valor de dicho coeficiente. El binomio asociado será (x+b/2)² para el caso de que el coeficiente lineal sea positivo y será (x-b/2)²para el caso de que el coeficiente lineal sea negativo.
Al desarrollar el binomio cuadrarán los términos cuadrático y lineal pero puede que no sea así con el término independiente, que será b²/4 cuando debería haber salido “c”. Para solucionar esto al cuadrado del binomio le restamos y le sumamos c. Solucionado. Únicamente nos quedará despejar la ecuación y acabaremos de resolver cualquier ecuación cuadrática sin utilizar la fórmula.
Como prueba de lo anteriormente explicado podemos seguir desarrollando el binomio:
x² + bx + c = 0 ⇒ (x+b/2)² – b²/4 + c = 0
Despejando y agrupando tenemos:
(x+b/2)² = b²/4 – c ⇒ (x+b/2)² = (b²-4c) / 4
Y tomando raíces:
(x+b/2) = ±√(b²-4c)/2 ⇒ x = -b/2 ± √(b²-4c) / 2
Que es la expresión de la fórmula clásica cuando el coeficiente cuadrático vale 1.
* David es profesor de Matemáticas en el IES Miguel Delibes y podéis encontrar más curiosidades y recursos sobre matemáticas en su web dmdelrio.es
No lo conocía y estoy con mi hija justo resolviendo estos dias sus primeras ecuaciones.. me gusta mas que la formula porque implica algo mas de razonamiento que sustituir los números sin mas.. muchas gracias!!
Es bastante poco práctico y un mayor trabajo en la mayoría de las ecuaciones, ya que b no será múltiplo de 2 y te toca multiplicar toda la ecuación o sacar fracciones complicadas…
Como juego está bien, pero si no les explicas ambas, no creo que les estés dando el programa lectivo correctamente. Pobres crios…
prefiero la formula es mas directa y ademas tambien es facil de implementar en ordenadores.
A decir verdad ya conocia el método, solo que es algo que haces cuando llegas a integrales, y solo cuando llegas ahi es cuando te suelen indicar el método.
Hay un error en la demostración, es un error muy común en estudiantes pre universitarios, espero que este artículo no ayude a que se perpetue.
El error está en esta línea:
x² + 2x -3 = 0 ⇒ (x+1)² – 4 = 0 ⇒ x+1 =√ 4 = ±2 ⇒ x=1; x =-3
La raíz cuadrada de un número es siempre un número positivo, al menos esa es la fórmula habitual de definir la función raíz cuadrada. La función raíz cuadrada de un número no puede tener dos valores porque si fuese así no sería ni siquiera una función.
La esencia de este asunto es preguntarse cuanto vale √x², la respuesta no es ±x (por lo comentado anteriormente), la respuesta correcta es |x|, el valor absoluto de x. Si z=|x|, entonces sí puede decirse que z=±x. En este contexto la simplificación funciona pero puede no funcionar en otros contextos además de convertir una función en otra cosa. Esa línea se debería escribir:
x² + 2x -3 = 0 ⇒ (x+1)² – 4 = 0 ⇒ |x+1| =√ 4 = 2, x+1 = ±2 ⇒ x=1; x =-3
Me he puesto ha programar una manera de solucionarlo sin la formula sino con el binomio. Lo he hecho en python echad un vistazo.
from math import sqrt
»’
comentario
ax2+bx+c=0
a=a/a
b=b/a
c=c/a
(ax+1)2-termino=ax2+bx+c
(ax+1)2-termino=0
termino=1-c
ejemplo
x2+2x-3=0
(x+1)2-termino=x2+2x-3
x=sqrt(termino)-1
termino=x2+2x-3-(x+1)2
fin comentario
»’
a=1
b=2
c=-3
a=a/a
b=b/a
c=c/a
termino=1-c
x1=sqrt(termino)-1
x2=-sqrt(termino)-1
print(x1)
print(x2)